Come calcolare il Tasso Interno di Rendimento Modificato (TIRM) per un investimento
Valore Attuale Netto (VAN) e Tasso Interno di Rendimento (TIR o IRR) sono due strumenti potenti per valutare investimenti e decisioni gestionali. Il TIR si basa, pero’, su assunzioni forti, quali il reinvestire i flussi di cassa positivi con lo stesso tasso di interesse del TIR. Questa ipotesi e’ inverosimile: ad esempio, e’ possibile che i 20.000 euro generati il secondo anno potrebbero non essere reinvestiti con lo stesso tasso di rendimento dell’investimento iniziale e bisognerebbe considerare, invece, lo scenario piu’ realistico di flussi di cassa reinvestiti al tasso effettivo, quale puo’ essere il tasso descritto dalla curva dei tassi. E’ possibile che il TIR sovrastimi eccessivamente il rendimento di un investimento.
Un altro problema del TIR e’ la possibilita’ che vi siano flussi di cassa positivi e flussi di cassa negativi. In questo caso, e’ possibile che vi siano piu’ soluzioni diverse di TIR per ogni cambio di segno.
Questi limiti vengono superati con la formula del calcolo del Tasso Interno di Rendimento Modificato (TIRM), che prevede il reinvestimento dei flussi di cassa annuali al costo del capitale nell’intero periodo di riferimento. Il TIRM e’ comunemente noto come Modified Internal Rate of Return (MIRR).
Quindi, ricapitolando:
- il TIRM migliora il TIR assumendo che i flussi di cassa positivi vengano reinvestiti al costo del capitale;
- il TIRM viene impiegato per meglio confrontare diversi investimenti;
- il TIRM e’ strutturato in modo da generare un’unica soluzione, eliminando il problema di avere TIR multipli.
Dunque, gli aspetti governanti il TIR sono:
- flussi di cassa futuri;
- tasso di finanziamento – ovvero, il costo del prestito o le spese dovute agli interessi nel caso di flussi negativi;
- tasso di reinvestimento – ovvero, il tasso di rendimento composto mediante i quali i flussi di cassa futuri saranno reinvestiti. Qui sta la principale differenza con il TIR, dato che il TIR assume reinvestimenti allo stesso tasso del TIR stesso mentre il TIRM presuppone tassi di reinvestimento futuri diversi.
Esempio numerico
Vediamo un esempio numerico mettendo a confronto due investimenti diversi. Per entrambi gli investimenti assumiamo quanto segue:
- Costo iniziale = 10 milioni di euro;
- Durata investimento = 5 anni;
- Flussi di cassa = 5 milioni di euro all’anno.
Ecco l’investimento A:
Ed ecco l’investimento B:
Sono apparentemente uguali: stesso costo iniziale, stessa durata, stessi flussi di cassa generati. Infatti, restituiscono entrambi un Tasso Interno di Rendimento pari al 41%.
Vediamo piu’ in dettaglio. L’investimento A si basa sull’assunzione chiave di reinvestire i flussi di cassa generati ad un tasso di reinvestimento che e’ pari allo stesso TIR, ovvero 41%:
Secondo questa assunzione, l’investimento A genera 56 milioni di euro all’anno 5.
Da notare come tutti i flussi di cassa generati siano stati reinvestiti con CAGR = TIR = 41%. Una piccola parentesi: l’acronimo CAGR che si legge in tabella sta per Compounded Average Growth Rate, ovvero il Tasso Annuo di Crescita Composto. Non abbiamo fatto altro che applicare la formula dell’interesse composto al flusso di cassa dall’anno in cui esso e’ stato generato fino al quinto anno.
In realta’, quando si generano i flussi di cassa e ci troviamo di fronte alla scelta di reinvestirli, non vi sono opportunita’ con rendimento cosi’ alto; le opportunita’ a disposizione hanno un rendimento pari al costo del capitale. Assumiamo che tale tasso di reinvestimento sia pari all’8%. Quindi, per l’investimento B abbiamo: CAGR = Costo del capitale = 8%.
Secondo questa assunzione, piu’ realistica, l’investimento B genera 29 milioni di euro all’anno 5.
Vediamoli uno di fianco all’altro:
C’e’ una bella differenza, vero? Con il TIR avremmo sovrastimato il risultato all’anno 5 di 26 milioni (56 – 29).
Come calcolare il Tasso di Rendimento Modificato?
Vediamo la relazione di calcolo del TIRM. Concettualmente, si applica la formula del CAGR imponendo come tasso di interesse il TIRM, quindi:
Nella relazione di cui sopra, sono noti il Costo iniziale, il Flusso di cassa totale ed il numero di anni dell’investimento (indicato con n). E’ invece incognito il valore del TIRM. Quindi:
Quella di sopra e’ l’espressione matematica del Tasso Interno di Rendimento Modificato. Applichiamolo al nostro esempio numerico per avere:
Abbiamo ottenuto un valore pari al 24%.
Cosa indica il Tasso Interno di Rendimento Modificato?
Dall’esempio numerico abbiamo ottenuto un TIRM pari al 24%. Significa che possiamo prendere il costo dell’investimento all’anno 0 ed applicare il Tasso Annuo di Crescita Composto del 24% ottenendo cosi’ proprio 29 milioni di euro:
Vediamo un riepilogo complessivo:
Come calcolare il Tasso Interno di Rendimento Modificato in Excel
Un modo semplice per calcolare il Tasso Interno di Rendimento Modificato in Excel e’ di usare la funzione TIR.VAR. Gli argomenti della funzione sono:
- flussi di cassa futuri;
- tasso di finanziamento;
- tasso di reinvestimento.
Riprendiamo gli scenari di investimento visti in precedenza e confrontiamoli tra loro, questa volta usando il TIRM:
Notiamo che:
- per l’investimento 1, il TIRM e’ superiore al TIR. Il motivo e’ semplice: abbiamo assunto un tasso di reinvestimento del 12%, mentre il TIR applicava come tasso di reinvestimento il TIR stesso (1,4%);
- per gli investimenti 2, 3, 4 e 5 il TIRM e’ inferiore al TIR. Il motivo e’ lo stesso di cui sopra, ma all’inverso;
- l’investimento 4 che restituiva un TIR dell’83,7% ha un TIRM quasi dimezzato pari al 46,3%.
C’e’ una notevole differenza nell’immaginare di reinvestire i flussi di cassa intermedi con un tasso dell’83,7% rispetto all’usare il 12%. Questa e’ una grossa limitazione del TIR rispetto al TIRM.
Tutti i calcoli sopra discussi sono stati riportati in un foglio Excel. La schermata principale consente l’inserimento dei dati. L’utente dovra’ inserire i valori nelle caselle marcate in giallo. Tutte le altre celle sono calcolate automaticamente.
Il foglio e’ liberamente scaricabile senza alcun costo dal seguente link:
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